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백준 1753 : 최단경로
문제
방향그래프가 주어지면 주어진 시작점에서 다른 모든 정점으로의 최단 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오. 단, 모든 간선의 가중치는 10 이하의 자연수이다.
입력
첫째 줄에 정점의 개수 V와 간선의 개수 E가 주어진다. (1 ≤ V ≤ 20,000, 1 ≤ E ≤ 300,000) 모든 정점에는 1부터 V까지 번호가 매겨져 있다고 가정한다. 둘째 줄에는 시작 정점의 번호 K(1 ≤ K ≤ V)가 주어진다. 셋째 줄부터 E개의 줄에 걸쳐 각 간선을 나타내는 세 개의 정수 (u, v, w)가 순서대로 주어진다. 이는 u에서 v로 가는 가중치 w인 간선이 존재한다는 뜻이다. u와 v는 서로 다르며 w는 10 이하의 자연수이다. 서로 다른 두 정점 사이에 여러 개의 간선이 존재할 수도 있음에 유의한다.
출력
첫째 줄부터 V개의 줄에 걸쳐, i번째 줄에 i번 정점으로의 최단 경로의 경로값을 출력한다. 시작점 자신은 0으로 출력하고, 경로가 존재하지 않는 경우에는 INF를 출력하면 된다.
아이디어
최단경로를 찾기위한 알고리즘은 크게 3가지가 존재한다.
- 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘
- 플로이드 워셜(Floyd Warshall) 알고리즘
- 벨만 포드(Bellman Ford) 알고리즘
문제의 주어진 조건을 보면 가중치가 자연수이고 한 시작점에서부터 최단경로를 구하는 것이기 때문에 단순하게 다익스트라를 적용하면 풀 수 있을 것 처럼 보인다.
그런데 난이도가 골드4 이고, 시도한 횟수가 많은 걸 보아하니 minHeap이나 priority Queue를 도입하여 시간초과가 발생하지 않게 만들어서 문제를 해결해야할 것으로 보인다.
일반적인 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 다음과 같고,
$$
O(V^2)
$$
minHeap이나 priority queue를 사용하는 경우 시간 복잡도는 다음과 같다.
$$
O((E+V) \log V)
$$
파이썬에서는 heapq 라이브러리를 사용하여 구현할 수 있다.
알고리즘 : 코드
import sys
import heapq
INF = 999999999
input = sys.stdin.readline
def dijkstra(st):
global shortestPath
shortestDist[st] = 0 # 자기자신까지 거리는 0
queue = []
heapq.heappush(queue, [0, st])
while queue:
dist, node = heapq.heappop(queue)
if shortestPath[node] < dist:
continue
for nNode, weight in graph[node]: # 현재 노드에서 갈 수 있는 다른 노드
nDist = dist + weight
if nDist < shortestPath[nNode]:
shortestPath[nNode] = nDist
heapq.heappush(queue, [nDist, nNode])
V, E = map(int, input().split())
K = int(input())
graph = [[] for _ in range(V + 1)]
for _ in range(E):
u, v, w = map(int, input().split())
graph[u].append([v, w]) # 더 큰 weight가 들어오면 버리고 싶은데 비효율적인가?
shortestDist = [INF for _ in range(V + 1)]
dijkstra(K)
for i in range(1, V + 1):
dist = shortestDist[i]
if dist == INF:
dist = "INF"
print(dist)
회고
파이썬에서 무한대 어떻게 표현하는지 기억이 나지않던 이슈가 있었다. 그래서 그냥 변수로 정의했다.
문제에서 두 정점사이에 엣지가 여러개 있을 수 있다고 이야기 했는데, input 받을 때 adjacency matrix로 받으면 기존값보다 작은 weight만 갱신해 주는 식으로 구현할 수도 있을 것 같다.
다음에 기회 되면 해보는 걸로!