문제
우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.
그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )
김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.
김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.
입력
입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. $(0 \le x < y < 2^{31})$
출력
각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 횟수를 출력한다.
아이디어
첫 번째 접근방법 : 운동방정식 활용
이 우주선은 가속도가 항상 동일한 등가속도 운동을 가속했다가 감속하게 된다. 따라서 최소한의 작동횟수로 이동하기 위해서는 최대 속도까지 계속 증가하다가 다시 일정하게 감소하여 1광년의 이동거리로 대칭성있게 돌아오는 것이 최소한의 작동 횟수일 것이다.
따라서 최소한의 작동횟수를 k라고 하면 k는 시간(t)로, 공간이동거리는 속도(v)로 생각할 수 있기 때문에 vt그래프를 그려서 이동거리를 유도할 수 있다. 가장 큰 이동거리는 $1+\dfrac{k}{2}$광년 일 것이고 따라서 평균 이동거리는 $\dfrac{k+1}{4}$이다. 즉, k번 작동시켰을 때 총 이동거리는 $\dfrac{k+1}{4}\times k$가 된다. 이 이동거리가 x-y와 같아야하기 때문에 이를 이용하여 식을 세우면 k에 대한 2차방정식 형태로 나오기 때문에 2차방정식을 해결하면 k를 구할 수 있다.
$$ \frac{k^2}{4} + \frac{k}{4} + (x-y) = 0 $$
단 이렇게 해결할 때는 촤대 이동거리가 정확히 나누어 떨어지지 않아서 최대이동거리를 찍은뒤 다시 감속하는게 아니라 잠시동안 유지해야한은 경우애 대해 계산하기가 약간 애매해지게 된다. (이 방법으로 구현은 해보지 않았다.)
2번째 접근방법 : 규칙성 활용
DP를 쓰려고 했었을 때 이동거리에 따라 필요로하는 촤소 작동 횟수를 계산했던 결과를 바탕으로 규칙성을 찾을 수 있다.
| 이동거리 | 작동횟수 (step) |
|---|---|
| 1 | 1 (1) |
| 2 | 2 (1,1) |
| 3 | 3 (1,1,1) |
| 4 | 3 (1,2,1) |
| 5 | 4 (1,2,1,1) |
| 6 | 4 (1,2,2,1) |
| 7 | 5 (1,2,2,1,1) |
| 8 | 5 (1,2,2,2,1) |
| 9 | 5 (1,2,3,2,1) |
| 10 | 6 (1,2,2,2,2,1) |
어떤 작동횟수 k에서 최대로 이동할 때,
k가 홀수라면, (1, 2, ... (k/2)+1, ..., 2, 1)이고 최대 이동 가능거리는 따라서 $\left\lceil\dfrac{k}{2}\right\rceil^2+\left\lceil\dfrac{k}{2}\right\rceil-\left\lceil\dfrac{k}{2}\right\rceil = \left\lceil\dfrac{k}{2}\right\rceil^2$
k가 짝수라면, (1, 2, ... k/2, k/2, ..., 2, 1)이고 최대 이동 가능거리는 따라서 $\left(\dfrac{k}{2}\right)^2+\dfrac{k}{2}$이다.
따라서 이를 활용하면 작동횟수를 1에서부터 점점 증가시켜가면서 주어진 이동거리(y-x)보다 같거나 크도록 이동하는 최소 작동횟수를 찾을 수 있다.
예를 들어, 이동거리가 8이라면 이동거리 8보다 크거나 같도록 이동하는 최소작동횟수 k는 5가 될 것이다. (k=5일 때 이동가능한 최대거리가 9이기 때문이다.)
알고리즘 : 코드
import sys
import math
input = sys.stdin.readline
T = int(input())
for _ in range(T):
x, y = map(int, input().split())
d = y - x
k = 1
while True:
if k % 2 == 0: maxDist = (k / 2) ** 2 + (k / 2)
else: maxDist = (math.ceil(k / 2)) ** 2
if maxDist >= d:
print(k)
break
k += 1
회고
처음에는 그냥 DP문제라고 생각하고 시작했다가 태그를 확인하고 DP가 아닌것을 본 뒤에는 이제 이동거리/평균속도 공식을 써서 해결하려다가 DP로 접근할 때 발견했던 규칙성을 활용해서 간단하게 해결을 헀다. 사실 기본적인 아이디어는 2가지 방법이 비슷한 것 같다.
이 문제는 내가 만들었던 "우주" 문제집에 있는 첫번째 문제이다. 우주 문제집은 문제의 제목에 천문학 관련 단어가 들어간 문제들을 모아둔 문제집으로 이런 종류의 문제를 다 푸는것이 내 목표이다.
재미있는 문제였던 것 겉다.