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백준 11404 : 플로이드
문제
n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.
모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.
시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.
출력
n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.
아이디어
그래프가 주어지고 (노드: 도시, 버스: 엣지, 비용: 가중치), 가능한 모든 도시의 쌍에 대한 최단거리를 구하는 문제는 플로이드-워셜 알고리즘으로 쉽게 해결할 수 있다.
플로이드-워셜 알고리즘의 원리는 다음과 같다. [Divide-and-Conquer]
3개의 노드 $i$, $j$, $k$로 이루어진 그래프를 가정하자.
먼저 2개의 노드 $i$, $j$만을 고려할 때 점 $i$에서 $j$로 가는 경로 직접 $i\rightarrow j$로 가는 경로밖에 없기 때문에 최단 경로또한 $i\rightarrow j$가 될 것이다.
이제 $k$노드까지 경로에 포함할 수 있는 후보 노드로서 포함하자.
이 경우에는 점 $i$에서 $j$로 가는 경로는 앞서서 2개의 노드만을 고려했을 때의 최단경로인 $i\rightarrow j$와 추가된 다른 노드 $k$ 를 경유하여 $i \rightarrow k \rightarrow j$로 가는 2가지 경로가 있을 것이다.
$i \rightarrow k \rightarrow j$로 가는 경로는 $i\rightarrow k$ 경로와 $k\rightarrow j$ 경로의 합으로 계산할 수 있다. 이때 $i\rightarrow k$ 경로는 2개의 노드만을 고려할 때 점 $i$에서 $k$로 가는 최단경로이고 $k\rightarrow j$ 경로는 2개의 노드만을 고려할 때 점 $k$에서 $j$로 가는 최단경로이다!
=> 즉 하나의 부분문제를 풀기위해 더 작은 문제에서 구했던 해를 사용할 수 있다!
이를 일반화 시키면, 노드 i에서 j로 가는 경로중, 경로에 노드 k까지 고려했을 때의 최단거리는 다음과 같이 정의된다.
$$ dist_{ij}[k] = \min(dist_{ij}[k-1],\ dist_{ik}[k-1]+dist_{kj}[k-1]) $$
알고리즘 : 코드
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = 9999999
def floyd():
for k in range(1, n + 1):
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, n + 1):
if i == j:
continue
dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])
n = int(input())
m = int(input())
dist = [[INF for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
dist[a][b] = min(dist[a][b], c)
floyd()
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
weight = dist[a][b]
if weight == INF:
weight = 0
print(weight, end=" ")
print()
회고
수업시간이 이론적으로 배우기만했던 플로이드-워셜 알고리즘을 구현해보았다. 구현하고나니까 우선순위큐를 써서 시간복잡도를 줄인 다익스트라 알고리즘을 모든 점에 대해 적용하는게 시간복잡도가 더 작지 않나? 라는 생각이 들었지만 확실히 플로이드-워셜의 알고리즘이 훨씬 더 간단하긴 한 것 같다.